支持向量机原理详解(六): 序列最小最优化(SMO)算法(Part I)

SMO算法详解：序列最小最优化的精髓

支持向量机(SVM)的高效训练离不开SMO算法的巧妙设计。SMO的核心在于其独特的优化策略，让我们深入理解它的运作机制：

1. 核心思想: SMO通过分解大规模的凸二次规划问题，将其转化为易于解析处理的小规模子问题。关键在于，它确保每个迭代步骤都严格遵循等式约束，逐步逼近全局最优解。


2. 停机条件: 当所有样本满足KKT条件（如文献[1,2]中所述，条件可能略有差异），即优化问题达到局部最优，算法便宣告停止。


3. 优化策略: SMO选取两个变量进行优化，每次只改变这两个变量的值，同时保持等式约束。Osuna理论保证每次迭代都会减小目标函数，确保算法收敛。


4. 解析求解: 通过解析方法求解每个优化子问题，利用一元二次函数的导数找到未修剪的局部最优解，然后根据不等式约束进行修剪，确保解的可行性和有效性。


5. 启发式选择: 优化变量的选择并非随机，而是遵循一种策略，优先处理违反KKT条件的样本，通过交替遍历训练集和非边界子集，以快速满足这些条件。

在实践中，SMO的执行过程是这样的：首先，通过导数计算找到局部最优解；接着，根据不等式边界调整解的范围；最后，更新相关参数，确保优化后的解满足KKT条件。值得注意的是，算法在精度允许的范围内检查KKT条件，通过Platt的伪代码[3,4]可见，如(10)和(11)所示，逻辑清晰且易于理解。

在实际操作中，(12)和(13)的编程实现更为简洁，takeStep()函数负责处理违反KKT的样本，只有当条件满足时，才会调整其步长。当无法通过正步长找到合适的优化方向时，SMO会采用启发式策略，如随机遍历子集或整个训练集，以求突破僵局。

SMO的动态调整机制使算法在逼近全局最优的同时，保持了灵活和高效。其对样本的选择依赖于 的符号，通过调整阈值和差值，确保算法在每个步骤中都朝着最优解前进。深入理解这些细节，将有助于我们更好地运用SMO算法进行实际问题的建模与预测。参考文献：[1-5]

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