能用两种不同方法表示成两个立方数之和的最小正整数是 1729=1+12^3=9^3+10^3; 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数为“智慧...
波兰数学家 Wacław Sierpiński 对数论有很多研究。在他一生出版的 50 多本书里， 250 Problems of Elementary Number Theory 一书显得格外有趣。这里面不但有各种出人意料的数学事实，还有很多精妙的证明和大胆的构造，让人大呼过瘾。我从中选择了一些问题，在这里和大家一块儿分享。下面的文字没有完全照搬书中的内容，而是做了大量的改动和扩展；若有出错的地方，还请大家指正。个别题目会涉及一些初等数论中的著名定理，它们都可以在这篇文章里找到。
找出所有的正整数 n ，使得 n2 + 1 能被 n + 1 整除。
满足要求的解只有一个： n = 1 。原因很简单：如果 n2 + 1 = n(n + 1) – (n – 1) 是 n + 1 的整倍数，那么 n – 1 也必须是 n + 1 的整倍数，这只有一种可能性，即 n – 1 = 0 。
证明：对于任意大于 6 的偶数 n ，我们都能找到两个质数 p 和 q ，使得 n – p 和 n – q 互质。
不管 n 是多少，令 p = 3, q = 5 即可。这样一来， n – p 和 n – q 就是两个相邻的奇数，它们必然互质。
找出所有公差为 100 的等差数列，使得里面的所有项都是质数。
满足要求的等差数列不存在。这是因为，在 p, p + 100, p + 200 这三个数当中，至少有一个数能被 3 整除，因而 p 只能等于 3 。此时， p + 200 = 3 + 200 = 203 = 7 × 29 ，这就说明满足要求的等差数列不存在。
找出所有这样的质数，它既能表示成两个质数之和，也能表示成两个质数之差。
满足要求的数只有 5 ，它可以表示成 3 + 2 和 7 – 2 。下面我们证明，这个问题没有别的解了。如果质数 r 能表示成两个质数之和，那么显然 r > 2 ，因而 r 只能是奇数。两个质数之和是一个奇数，则其中一个质数一定是 2 ；两个质数之差是一个奇数，则其中一个质数也一定是 2 。因此， r 只有可能被表示成 p + 2 和 q – 2 ，其中 p 和 q 都是质数。这说明， p, r, q 是三个连续奇数。三个连续奇数当中，必然有一个能被 3 整除。如果它们都是质数，那么一定有一个数就是 3 。因此， (p, r, q) = (3, 5, 7) 是唯一的可能。
33 = 3 × 11 ， 34 = 2 × 17 ， 35 = 5 × 7 。它们组成了三个连续的正整数，其中每个数都是两个不同的质数之积。是否存在四个连续的正整数，使得每个数都是两个不同的质数之积？
不存在。任意四个连续的正整数中，一定有一个能被 4 整除，它显然不是两个不同的质数之积。
证明：方程 xy + x + y = 232 存在正整数解。
原方程相当于 xy + x + y + 1 = 232 + 1 ，即 (x + 1) · (y + 1) = 225 + 1 ，而后者是 n = 5 时的 Fermat 数，众所周知，它是能被分解成两个大于 1 的整数之积的。
证明：方程 x2 + y2 + 1 = z2 有无穷多组正整数解。
对于任意正整数 n ， (2n)2 + (2n2)2 + 1 = (2n2 + 1)2 都成立。
证明：对于任意一个无限小数（不一定是无限循环小数），我们都能找到一个任意长的数字串，使得它会在这个无限小数的小数展开当中出现无穷多次。
令 m 为任意大的正整数。把小数点后的数字每 m 位分成一组，从而得到无穷多个 m 位数字串。由于不同的 m 位数字串只有 10m 种，因而必然有一种数字串会出现无穷多次。
证明：对于任意正整数 m ，总存在一个关于 x 和 y 的整系数方程 ax + by = c ，使得方程恰好有 m 个正整数解。
不管 m 是多少，令 c = m + 1 ，则方程 x + y = c 满足要求。这个方程显然有且仅有 m 个解，它们分别是 (1, m), (2, m – 1), …, (m, 1) 。
A search was also carried out for 5th power solutions. For example:
Are there any solutions to I^5 + J^5 = K^5 + L^5 ?
A search was made out to 3.6E+28 for fifth power solutions. No solutions were found. Again it might be that the computer program was faulty, or solutions might exist above 3.6E+28. The computer program that was used was essentially the same as the posted ramanujans.c program that was referenced earlier - except the cubes tables were replaced by fifth powers. For the fifth power search, regular “double” variables were replaced by “long double”. The extra precision allowed the search to run to 3.6E+28.
A similar search was run for sixth power solutions out to 3.6E+28. (e.g. I^6 + J^6 = K^6 + L^6) Nothing was found here either.1) 133^4 + 134^4 = 59^4 + 158^4 = 635,318,657 (Primitive)
2) 157^4 + 227^4 = 7^4 + 239^4 = 3,262,811,042 (Primitive)
3) 256^4 + 257^4 = 193^4 + 292^4 = 8,657,437,697 (Primitive)
4) 266^4 + 268^4 = 118^4 + 316^4 = 10,165,098,512 (A multiple of # 1)
5) 399^4 + 402^4 = 177^4 + 474^4 = 51,460,811,217 (A multiple of # 1)
Taxicab(6) = 24153319581254312065344
= 28906206^3 + 582162^3
= 28894803^3 + 3064173^3
= 28657487^3 + 8519281^3
= 27093208^3 + 16218068^3
= 26590452^3 + 17492496^3
= 26224366^3 + 18289922^3
1,847,282,122^ 3 + 2,648,660,966^3 =
1,766,742,096^3 + 2,685,635,652^3 =
1,638,024,868^3 + 2,736,414,008^3 =
860,447,381^3 + 2,894,406,187^3 =
459,531,128^3 + 2,915,734,948^3 =
309,481,473^3 + 2,918,375,103^3 =
58,798,362^3 + 2,919,526,806^3 =
24,885,189,317,885,898,975,235,988,544
Cabtaxi(1) = 1
= 1^3 + 0^3
Cabtaxi(2) = 91
= 3^3 + 4^3
= 6^3 - 5^3
Cabtaxi(3) = 728
= 6^3 + 8^3
= 9^3 - 1^3
= 12^3 - 10^3
Cabtaxi(4) = 2,741,256
= 108^3 + 114^3
= 140^3 - 14^3
= 168^3 - 126^3
= 207^3 - 183^3
Cabtaxi(5) = 6,017,193
= 166^3 + 113^3
= 180^3 + 57^3
= 185^3 - 68^3
= 209^3 - 146^3
= 246^3 - 207^3
Cabtaxi(6) = 1,412,774,811
= 963^3 + 804^3
= 1,134^3 - 357^3
= 1,155^3 - 504^3
= 1,246^3 - 805^3
= 2,115^3 - 2,004^3
= 4,746^3 - 4,725^3
Cabtaxi(7) = 11,302,198,488
= 1,926^3 + 1,608^3
= 1,939^3 + 1,589^3
= 2,268^3 - 714^3
= 2,310^3 - 1,008^3
= 2,492^3 - 1,610^3
= 4,230^3 - 4,008^3
= 9,492^3 - 9,450^3
Cabtaxi(8) = 137,513,849,003,496
= 22,944^3 + 50,058^3
= 36,547^3 + 44,597^3
= 36,984^3 + 44,298^3
= 52,164^3 - 16,422^3
= 53,130^3 - 23,184^3
= 57,316^3 - 37,030^3
= 97,290^3 - 92,184^3
= 218,316^3 - 217,350^3
Cabtaxi(9) = 424,910,390,480,793,000
= 645,210^3 + 538,680^3
= 649,565^3 + 532,315^3
= 752,409^3 - 101,409^3
= 759,780^3 - 239,190^3
= 773,850^3 - 337,680^3
= 834,820^3 - 539,350^3
= 1,417,050^3 - 1,342,680^3
= 3,179,820^3 - 3,165,750^3
= 5,960,010^3 - 5,956,020^3
Cabtaxi(10) has been confirmed by the author’s computer program and is equal to:
933,528,127,886,302,221,000
= 7,002,840^3 + 8,387,730^3
= 6,920,095^3 + 8,444,345^3
= 77,480,130^3 - 77,428,260^3
= 41,337,660^3 - 41,154,750^3
= 18,421,650^3 - 17,454,840^3
= 10,852,660^3 - 7,011,550^3
= 10,060,050^3 - 4,389,840^3
= 9,877,140^3 - 3,109,470^3
= 9,781,317^3 - 1,318,317^3
= 9,773,330^3 - 84,560^3
加油
若数a能表示成两个自然数（允许相同）的平方和，则称a为“好数”．（1）试确定，在前1，2，3…9，10中，
（1）在1，2，3…9，10中的平方数是：1=12+02，2=12+12，4=22+02，5=12+22，8=22+22，9=32+02，10=12+32，有7个．（2）不超过100的平方数是：02，12，22，…，92，102．显然，12，22，…，92，102中的每一个数k2可表示成k2+02的形式，这种数有10个．而12，22，…，62，72中的每对数（可相同）的和不大于100，这种数有7×62+7＝28个（其中，x2+x2的形式的数有7个，x2+y2（x≠y）形式的数有7×62＝21个）其次，82+x2（x=1，2，…，5，6）的形式的数有6个，92+x2（x=1，2，3，4）的形式的数有4个．再考虑重复情况，不超过20且能表示为两个不同正整数的平方和的数有5，10，13，17，20，该组中的每个数与5的积为：25=32+42，25=02+52，50=12+72，50=52+52，65=12+82，65=42+72，85=22+92，85=62+72，100=62+82，100=102+02．都可用两种方式表示为平方和，各被计算了两次，共计5次重复．所以满足条件的好数共有：10+28+6+4-5=43（个）．
首先应该先找到智慧数的分布规律．①∵02-02=0，∴0是智慧，②因为2n+1=（n+1）2-n2，所以所有的奇数都是智慧数，③因为（n+2）2-n2=4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数． 由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，从5起，依次是5，7，8； 9，11，12； 13，15，16； 17，19，20…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．∴从0开始第8个智慧数是：9，∵2014÷4=503…2，∴不大于2014的智慧数共有：503×3+1+1=1511．故答案为：9，1511．
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是否可以将2019写成两个整数的立方和,如果可以请给出构造,如果不可以...
是否可以将二零一九写成两个整数的立方和如果可以给个给我打如果不可以请说这个等的有机会再给你做啊
将数8分成两个数的和,使它们的立方和最小。(最好是图片答案)
那就看看立方和公式吧 a"' + b"'= ( a + b )( a" - ab + b" )原先 a + b 本来就是 8，要想立方和最小，就看另一个因式 ( a" - ab + b" )不仅要 a" + b" 平方和最小，还要 ab 尽量减去最大 我们都知道，相同的周长，正方形面积最大，那么 立方和最小，就是 4"' ...
为什么不可能把一个数的立方分解成两个数的立方和
费尔马大定理可表述为任何一个次数大于二的方幂不能表示成两个同次方幂的正整数的和，即zn≠xn+yn。要证明费尔马大定理成立，只需证明以下四种结构形式方程伪成立：(x+mn+rn)n=(x+mn)n+(x+rn)n x=mr (x+mn+nn-1rn)n=(x+mn)n+(x+nn-1rn)n x=mr 或 x=nmr (x+m4+4r4...
大器晚成的数学家——哈代
这里再提一下这个广为流传的小故事：哈代有次在伦敦坐出租车去看望拉马努金。在与拉马努金的闲谈中提及他是乘1729这个车牌号的出租车来医院的：“这是一个无聊的数字，但愿它不是一个凶兆。”“不，”拉马努金说，“这是一个非常有趣的数字。我能用两种方法把它表示成两个立方之和：1729=9³+...
把8分为两数之和,使这两个数的立方之和为最小
∵8=A+B ∴A^3+B^3= A^3+(8-A)^3= A^3+(8^3-3*8*8A+3*8*A^2-A^3)=24(A-4)^2+128 当A=4时上式有最小值128,所以A=B=4,A^3+B^3=128
两个数和的立方公式
（a+b）^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3
阐述一个数学原理或定律
1637年,费马在阅读丢番图《算术》拉丁文译本时,曾在第11卷第8命题旁写道:“将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的。关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下。”(拉丁文原文: "Cu...
c语言程序:编写函数,判断一个正整数是否可以写成两个正整数的立方和
include<stdio.h>int main(){ int n,x,i,j; scanf("%d",&n); while(n--) {scanf("%d",&x); if(x<0) {printf("No\\n"); continue; } for(i=1;i*i*i<=x;i++); --i; x-=i*i*i; for(j=1;j*j*j<=x;j++); --j; x-=j...
把8分成两个数之和,使它们的立方和最小,求解过程
设一个数为X，则另一个数为8-X x^3+(8-x)^3 =24x^2-192X+8^3 =24(x^2-8x+64\/3)=24(x-4)^2+8^3-16*24 当x=4时最小
怎样算立方数?
每个整数均可表示成9个或以下的正立方数之和。（华林问题）1939年，狄克森证明只有23和239须用9个正立方数。亚瑟·韦伊费列治证明只有15个整数须用8个：15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454 的士数和士的数都指最小能表示成两个立方数之和的数，...
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13012741490： 方法一:分别找出正方形的4条边的3等分点, 再如图连接. ................. ┃ ┃ ┃ ┃ ................. ┃ ┃ ┃ ┃ ................. ┃ ┃ ┃ ┃ ................. 方法二: 分别找出正方形每条边的3等分点, 如图连接. ................ ┃ ┃ ┃ . ...... ┃ ┃ ┃ ................ ┃ ...
